题目：
给你一个整数数组，返回它的某个 非空 子数组（连续元素）在执行一次可选的删除操作后，所能得到的最大元素总和。换句话说，你可以从原数组中选出一个子数组，并可以决定要不要从中删除一个元素（只能删一次哦），（删除后）子数组中至少应当有一个元素，然后该子数组（剩下）的元素总和是所有子数组之中最大的。
注意，删除一个元素后，子数组 不能为空。
示例 1：
输入：arr = [1,-2,0,3]
输出：4
解释：我们可以选出 [1, -2, 0, 3]，然后删掉 -2，这样得到 [1, 0, 3]，和最大。
示例 2：
输入：arr = [1,-2,-2,3]
输出：3
解释：我们直接选出 [3]，这就是最大和。
示例 3：
输入：arr = [-1,-1,-1,-1]
输出：-1
解释：最后得到的子数组不能为空，所以我们不能选择 [-1] 并从中删去 -1 来得到 0。
我们应该直接选择 [-1]，或者选择 [-1, -1] 再从中删去一个 -1。
提示：
1 <= arr.length <= 105-104 <= arr[i] <= 104
暴力动态规划
思路：
题目中限制删除的元素最多一个
对于不删除元素，找子数组的最大和，这个是动态规划 dp[i] = max(dp[i - 1], 0) + arr[i]
对于删除其中一个元素，我们可以枚举删除的元素，然后对剩余数组做相同的动态规划，即可求出结果
时间复杂度O(n^2)
代码：
class Solution {
public:
int maximumSum(vector<int>& arr) {
int n = arr.size();
vector<int> dp(n);
dp[0] = arr[0];
// 不刪除任何元素
int res = dp[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i] = max(arr[i], dp[i - 1] + arr[i]);
res = max(res, dp[i]);
}
// 删除第 i 个元素，找最大子数组
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
vector<int> delDp(n);
if (i == 0) {
delDp[0] = arr[1];
for (int j = 2; j < n; j++) {
delDp[j] = max(arr[j], delDp[j - 1] + arr[j]);
res = max(res, delDp[j]);
}
}else {
delDp[0] = arr[0];
for (int j = 1; j < n; j++) {
if (j == i) {
continue;
}else if (j == i + 1) {
delDp[j] = max(arr[j], delDp[j - 2] + arr[j]);
res = max(res, delDp[j]);
}else {
delDp[j] = max(arr[j], delDp[j - 1] + arr[j]);
res = max(res, delDp[j]);
}
}
}
}
return res;
}
};
二维动态规划
思路：
本题是典型的动态规划应用题，我们可以将问题拆分成多个子问题，即求解以 arr[i] 结尾的最多删除一次的非空子数组的最大和。
我们以 dp[i][k] 表示以 arr[i] 结尾，删除 k 次的非空子数组的最大和（删除前的末尾元素为 arr[i]，就视为以 arr[i] 结尾）。初始时 dp[0][0] = arr[0]，dp[0][1] ＝ 0（以 arr[0] 结尾，删除一次的非空子数组不存在，因此 dp[0][1] 不会计入结果）。当 i > 0 时，转移方程如下：
dp[i][0] = max(dp[i−1][0], 0)+arr[i]
dp[i][1] = max(dp[i−1][1] + arr[i], dp[i−1][0])
第一个转移方程表示在不删除的情况下，以 arr[i] 为结尾的非空子数组的最大和 dp[i][0] 与 dp[i－1][0] 有关，当 dp[i−1][0] > 0 时，直接将 arr[i] 与 i − 1 时的最大非空子数组连接时，取得最大和，否则只选 arr[i] 时，取得最大和。
第二个转移方程表示在删除一次的情况下，以 arr[i] 为结尾的非空子数组有两种情况：
不删除 arr[i]，那么选择 arr[i] 与 dp[i−1][1] 对应的子数组（已执行一次删除）。
删除 arr[i]，那么选择 dp[i−1][0] 对应的非空子数组（未执行一次删除，但是等同于删除了 arr[i]）。
dp[i][1] 取以上两种情况的最大和的最大值。
注意到 dp[i][∗] 的值只与 dp[i−1][∗] 有关，因此我们可以只使用两个整数来节省空间。
代码：
class Solution {
public:
int maximumSum(vector<int>& arr) {
int dp0 = arr[0], dp1 = 0, res = arr[0];
for (int i = 1; i < arr.size(); i++) {
dp1 = max(dp0, dp1 + arr[i]);
dp0 = max(dp0, 0) + arr[i];
res = max(res, max(dp0, dp1));
}
return res;
}
};